viernes, 4 de marzo de 2011

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Torres Ureña Marco Iván

Teorema de Thales 2


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martes, 1 de marzo de 2011

El por qué...

Elegimos este tema, por que al buscar algunos applets, vimos uno que nos llamo la atención, uno qe justo habia creado usted profesor, al descargalo nos llamo la atención el teorema, ya que no es el típico de Pitagoras, así qe decidimos investigarlo más, recordamos mucho acerca de los triángulos semejantes, un tema que era de nuestro agrado, y por votación decidimos qe este seria el elegido, por así decirlo.

Teoremas Derivados de Thales

Teoremas Derivados de Thales

Vamos a demostrar algunos teoremas interesantes sobre triángulos, rectángulos o no, a partir del Teorema de Thales. Estos resultados los volveremos a tratar al hablar de Trigonometría y, entonces haremos nuevamente alusión a una idea que ronda desde el principio nuestro desarrollo:
las razones trigonométricas no son más que la expresión numérica de una constante de proporcionalidad.
Puedes observar que, en muchas de las ocasiones que representemos un triángulo rectángulo lo haremos colocando la hipotenusa como base y, su ángulo opuesto, el ángulo recto (90º), aparece como un angulo q habarca media circunferencia. Esta representación puede resultar más últil y nos puede ayudar a visulizar mejor ciertas relaciones de semejanza que, de otra manera, se verían con más dificultad.

Teorema del Cateto

En un triángulo rectángulo se cumple:
Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección ortogonal sobre ella.
  • Si:
    Triangulo Rectangulo [LaTeX]
    Y llamamos E al pie de la altura trazada desde el vértice C al lado AB o su prolongación
  • Se cumple, con uno de los catetos:
    Teorema Cateto 1[LaTeX]
  • Se cumple, con el otro cateto:
    Teorema Cateto 2[LaTeX]
(RF.1)
La demostración, que podemos ver detalladamente en el Applet adjunto, se basa en que los triángulos ACE , ABC y CBE son semejantes porque tienen dos ángulos iguales y, en consecuencia, sus lados son proporcionales.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo se cumple:
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
Triangulo Rectangulo
Teorema Pitagoras [LaTeX]
(RF.2)
La demostración, que puedes visualizar en el Applet adjunto, se basa en el teorema del cateto sin más que sumar las expresiones que hemos obtenido para cada cateto y observar que, las suma de las proyecciones de los cateros sobre la hipotenusa, coinciden con la propia hipotenusa:
Demostracion Teorema Pitagoras [LaTeX]

Teorema de la Altura

En un triángulo rectángulo se cumple:
La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.
Triangulo Rectangulo [LaTeX]
Si llamamos E al pie de la altura trazada desde el vértice C al lado AB o su prolongación:
Teorema Altura[LaTeX]
(RF.3)
La demostración puedes visualizarla en el Applet adjunto y se basa exactamente en el mismo principio que nos permitió demostrar el Teorema del Cateto, el hecho de que los triángulos ACE y BCE son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.

Teorema del lado opuesto al ángulo

A diferencia de los resultados anteriores que nos servían únicamente para triángulos rectángulos, el que vamos a enunciar aquí es válido para todo tipo de triángulos y tendrá un importancia fundamental en la Trigonometría. En un triángulo cualquiera se cumple:
  1. En un triángulo cualquiera, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de uno de esos lados por la proyección ortogonal del otro sobre él.
  2. En un triángulo cualquiera , el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, más el doble producto de uno de esos lados por la proyección ortogonal del otro sobre él.
  3. Si el triángulo es rectángulo , el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto (la hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (Los catetos), más el doble producto de uno de esos lados por la proyección ortogonal del otro sobre él (Como el triángulo es rectángulo, la proyección ortogonal de un cateto sobre el otro es un punto y, por tanto su medida es 0).
    En este caso el enunciado coincide con el Teorema de Pitágoras.
(RF.4)
La demostración la vemos en el Applet adjunto y consiste en lo siguiente:
  • Tracemos la altura que parte del vértice C y llamemos H al pie de la misma sobre el lado AB o sobre su prolongación.
  • Como la altura es perpendicular a la línea de la base, tenemos dos triángulos rectángulos formados respectivamente por los vértices ACH y BCH.
  • Aplicamos a cada triángulo el Teorema de Pitágoras.
  • Expresamos: BH en función de AB y de AH
  • Operamos.

Applet del teorema 2


Videos del Teorema

Esta es una definición muy breve del teorema con un ejercicio resuelto.


Una definición mas completa del teorema.


Y por ultimo una canción que encontramos que explica mejor el teorema.